已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证：当n≥2时，{an+2an-1}和{an-3an-1}均为等比数列；（2）求证：当k为奇数时，1ak+1ak+1＜43k+1；（3）求证：1a1+1a2+…-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）得：
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1）
且a₂+2a₁=15，a₂-3a₁=-10．
∴当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1
以上两式相减得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

=

-7×6k+8×4k

3k+1?(3k+2k)?(3k+1-2k+1)

=

4k?[8-7?(

3

2

)k]

3k+1?(3k+2k)?(3k+1-2k+1)

＜0，
∴

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

．
（3）由（2）知，当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

；
∴当n为偶数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

当n为奇数时，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*）．（1）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：