已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）（I）求证：数列{an-2n}为等比数列；（II）设bn=an?cosnπ，求数列{bn}的前n项和Pn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）（I）求证：数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2（n∈N^*）
（I）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（II）设b_n=a_n?cosnπ，求数列{b_n}的前n项和P_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵S_n=2a_n+n²-3n-2①∴S_n+1=2a_n+1+（n+1）²-3（n+1）-2
两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n+2n-2，∴a_n+1=2a_n-2n+2
故a_n+1-2（n+1）=2（a_n-2n），又在①式中令n=1得a₁=4，∴a₁-2≠0∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=2，
∴{a_n-2n}为等比数列
（II）由（I）知：a_n-2n=2?2^n-1，∴a_n=2ⁿ+2n且cosnπ=（-1）ⁿ
当n为偶数时，设n=2k（k∈N^*）
则P_n=b₁+b₂+…+b_n=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）={-（2+2×1）-（2³+2×3）-…-[2^2k-1+2（2k-1）]}+[（2²+2×2）+（2⁴+2×4）+…+（2^2k+2k）]=-（2+2³+…+2^2k-1）-2[1+3+…+（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）+2（2+4+…+2k）=-（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2[-1+2-3+4-…-（2k-1）+2k]=-

2[1-(-2)2k]

1-(-2)

+2k=

2

3

(2n-1)+n
当n为奇数时，设n=2k-1（k∈N^*），同理可得Pn=-

2(2k-1)+1+2

3

-[(2k-1)+1]=-

2n+1+2

3

-(n+1)=-

2n+1

3

-n-

5

3

综上所述，Pn=

-

2n+1

3

-n-

5

3

，n为奇数

2

3

(2n-1)+n，n为偶数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2-3n-2（n∈N*）（I）求证：数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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