设无穷数列{an}系：a1=1，2an+1-an=n-2n(n+1)(n+2)（n≥1）（1）求a2，a3（2）若bn=an-1n(n+1)，求证数列{bn}是等比数列（3）若Sn为数列{an}前n项的和，求Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：设无穷数列{an}系：a1=1，2an+1-an=n-2n(n+1)(n+2)（n≥1）（1）求a2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设无穷数列{aⁿ}系：a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1）
（1）求a₂，a₃
（2）若b_n=a_n-

1

n(n+1)

，求证数列{b_n}是等比数列
（3）若S_n为数列{a_n}前n项的和，求S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a₁=1，2a_n+1-a_n=

n-2

n(n+1)(n+2)

（n≥1），
∴2a2-a1=

-1

1×2×3

，解得a2=

5

12

．
同理可得a3=

5

24

．
（2）由b_n=a_n-

1

n(n+1)

，代入递推式中可得：2(bn+1+

1

(n+1)(n+2)

)-(bn+

1

n(n+1)

)=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2bn+1-bn+

2n

n(n+1)(n+2)

-

n+2

n(n+1)(n+2)

=

n-2

n(n+1)(n+2)

，
∴2b_n+1=b_n，且b1=a1-

1

2

=

1

2

．
∴数列{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
（3）由（2）可知：bn=(

1

2

)n，
∴an=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+(

1

n

-

1

n+1

)
∴数列{a_n}前n项和S_n=

1

2

×[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

+1-

1

n+1

=2-(

1

2

)n-

1

n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设无穷数列{an}系：a1=1，2an+1-an=n-2n(n+1)(n+2)（n≥1）（1）求a2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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