已知a1，a2，a3，…，a30是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b1，b2，b3，…，b30由bn=an+k，1≤n≤30-kan+k-30，30-k＜n≤30确定．记C=a1b1+a2b2+…+a30b30．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a1，a2，a3，…，a30是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知a₁，a₂，a₃，…，a₃₀是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0＜k＜30的整数k，数列b₁，b₂，b₃，…，b₃₀由bn=

an+k，1≤n≤30-k

an+k-30，30-k＜n≤30

确定．记C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀．
（Ⅰ）当k=1时，求C的值；
（Ⅱ）求C最小时k的值．

试题来源：静安区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当k=1时，bn=

an+1，1≤n≤29

a1，n=30

∴C=a₁b₁+a₂b₂+…+a₃₀b₃₀=a₁a₂+a₂a₃+…+a_ra_r+1+…+a₂₉a₃₀+a₃₀a₁
=1×2+2×2²+…+2^r-1×2^r+…+2²⁸×2²⁹+2²⁹×1
=2+2³++2^2r-1++2⁵⁷+2²⁹
=

2(429-1)

4-1

+229=

1

3

×259+229-

2

3

（Ⅱ）C=a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k+…+a₃₀b₃₀=1×2^k+2×2^k+1+…+2^k-1×2^2k-1+…+2^29-k×2²⁹+2^30-k×1+2^31-k×2+…+2²⁹×2^k-1=

2k+2k+2++23k-2++258-k

共30-k项

+

230-k+232-k++228+k

共k项

=

2k(430-k-1)

4-1

+

230-k(4k-1)

4-1

=

1

3

(260-k-2k+230+k-230-k)
=

1

3

[230-k(230-1)+2k(230-1)]
=

230-1

3

(230-k+2k)≥

216(230-1)

3

当且仅当2^30-k=2^k，即k=15时，C最小．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a1，a2，a3，…，a30是首项为1，公比为2的等比数列．对于满足0..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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