如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E是PB的中点．（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；（Ⅱ）设AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA=2，AD=1，E 是 PB 的中点．
（Ⅰ）若F是BC上任一点，求证：AE⊥PF；
（Ⅱ）设 AC、BD交于点O，求直线BO与平面AEC所成角的正弦值．

试题来源：云南省月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2和1的矩形，
侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2
所以BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中点，
∴AE⊥PB．又BC∩PB=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PF

面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，

，0）．
∴

．
设

，是平面EAC的一个法向量，则由

得

即

取x=1得

．
而

，
∴

．
设直线BO与平面AEC所成角为α，则sinα=

．
∴直线BO与平面AEC所成角的正弦值为

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=PA..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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