已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；（3）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B-数学试题及答案

1、试题题目：已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D﹣AE﹣B的大小．

试题来源：山东省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由三视图可知，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，
即四棱锥P﹣ABCD的体积为

．侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴

，
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．证明如下：
连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD

平面ABCD，
∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE

平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF．
∵AD=AB=1，

，

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，
∴BF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D﹣AE﹣B的平面角．
在Rt△ADE中，

，
又

，在△DFB中，
由余弦定理得

，
∴∠DGB=120°，
即二面角D﹣AE﹣B的大小为120°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．（1）求四..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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