已知线段CD=23，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．（1）求动点A所在的曲线方程；（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试-数学试题及答案

1、试题题目：已知线段CD=23，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知线段CD=2

3

，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．
（1）求动点A所在的曲线方程；
（2）若存在点A，使AC⊥AD，试求a的取值范围；
（3）若a=2，动点B满足BC+BD=4，且AO⊥OB，试求△AOB面积的最大值和最小值．

试题来源：福建模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）以O为圆心，CD所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
若AC+AD=2a＜2

3

，即0＜a＜

3

，动点A所在的曲线不存在；
若AC+AD=2a=2

3

，即a=

3

，动点A所在的曲线方程为y=0(-

3

≤x≤

3

)；
若AC+AD=2a＞2

3

，即a＞

3

，动点A所在的曲线方程为

x2

a2

+

y2

a2-3

=1．
（2）由（Ⅰ）知a＞

3

，要存在点A，使AC⊥AD，则以O为圆心，OC=

3

为半径的圆与椭圆有公共点，
故

3

≥

a2-3

，所以，a的取值范围是

3

＜a≤

6

．
（3）当a=2时，其曲线方程为椭圆

x2

4

+y2=1，由条件知A，B两点均在椭圆

x2

4

+y2=1上，且AO⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率为k（k≠0），则OA的方程为y=kx，OB的方程为y=-

1

k

x，
解方程组

y=kx

x2

4

+y2=1

，得

x

21

=

4

1+4k2

，

y

21

=

4k

1+4k2

，同理可求得

x

22

=

4k2

k2+4

，

y

22

=

4

k2+4

，
∴△AOB面积S=

1

2

1+k2

|x1|

1+

1

k2

|x2|=2

(1+k2)2

(1+4k2)(k2+4)

，
令1+k²=t（t＞1），则 S=2

t2

4t2+9t-9

=2

1

-

9

t2

+

9

t

+4

，
令g(t)=-

9

t2

+

9

t

+4=-9(

1

t

-

1

2

)2+

25

4

(t＞1)，所以，4＜g(t)≤

25

4

，即

4

5

≤S＜1，
当OA与坐标轴重合时S=1，于是

4

5

≤S≤1，△AOB面积的最大值和最小值分别为1与

4

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知线段CD=23，CD的中点为O，动点A满足AC+AD=2a（a为正常数）．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：