已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过C1的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）设圆O：x2+y2=45，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设圆O：x2+y2=

4

5

，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和椭圆C₁恒有两个交点A，B，且有

OA

?

OB

=0；
（3）在（2）的条件下求弦AB长度的取值范围．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

依题意有

b=1

2b2

a

=1

?

a=2

b=1

．
（1）C1：

x2

4

+y2=1．

（2）由

x2

4

+y2=1，且半径r=

2

5

＜1，所以圆O必在椭圆内部，
所以过该圆上任意一点作切线必与椭圆恒有两个交点．
设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线方程为x0x+y0y=

4

5

（1），
又由（1）知C1：

x2

4

+y2=1（2）
联立（1）（2）得：(

y

20

+4

x

20

)

x

2

-

32

5

x0x-4

y

20

+

64

25

=0，x1x2=

64

25

-4

y

20

y

20

+4

x

20

，x1+x2=

32

5

x

20

y

20

+4

x

20

，
又y1=

4

5

-x0

x

1

y0

，y2=

4

5

-x0

x

2

y0

，y1y2=

16

25

-4

x

20

y

20

+4

x

20

，
所以，欲证

OA

?

OB

=0，即证：x₁x₂+y₁y₂=0，
因为：x1x2+y1y2=

64

25

-4

y

20

y

20

+4

x

20

+

16

25

-4

x

20

y

20

+4

x

20

=

80

25

-4(

x

20

+

y

20

)

y

20

+4

x

20

=

80

25

-4×

4

5

y

20

+4

x

20

=0
所以，

OA

?

OB

=0命题成立．

（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，OD=r=

2

5

，BD=

OD

tan(900-θ)

，AD=

OD

tanθ

，
则AB=

OD

tan(900-θ)

+

OD

tanθ

=OD?(tanθ+

1

tanθ

)=

2

5

，
所以OA∈[1，2]，OD=

2

5

，所以sinθ=

OD

OA

∈[

5

，

2

5

]，又θ为锐角，
所以tanθ∈[

1

2

，2]，则有tanθ+

1

tanθ

∈[2，

5

2

]，所以AB∈[

4

5

，

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：