椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，sin∠AFBsin∠ABF+sin∠BAF的最小值为0.5．（I）求椭圆E的方程；（II）若直线-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

的最小值为0.5．
（I）求椭圆E的方程；
（II）若直线l：y=kx+m与椭圆E交于M，N两点（其中5m+6k≠0），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性，
因为|AF|+|BF|=4，所以|AF|+|AF′|=4，所以2a=4，即a=2，
在三角形AFB中，由正弦定理得

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

=

|AB|

|AF|+|BF|

=

x

21

+

y

21

2

=

b2+

c2

x

21

a2

2

因为0≤x₁²≤a²，所以

sin∠AFB

sin∠ABF+sin∠BAF

≥

b

2

=

1

2

所以b=1
所以所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；…5分
（Ⅱ）由

y=kx+m

x2

4

+y2=1

得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
由题意得△＞0，即m²-1-4k²＜0．（※）

设交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1+x2=-

8km

1+4k2

x1x2=

4m2-4

1+4k2

因为以MN为直径的圆过C（2，0），∴

CM

?

CN

=0
∵

CM

=（x₁-2，y₁），

CN

═（x₂-2，y₂），
所以（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（x₁-2）（x₂-2）+（k x₁+m）（kx₂+m ）=0，整理得
5m²+16km+12k²=0，（m+2k）（5m+6k）=0，注意到5m+6k≠0
故解得m=-2k．经检验，满足（※）式．
m=-2k时，直线方程为y=k（x-2），恒过定点（2，0）…12分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。

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