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1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-3，0)..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
魔方格

  试题来源：佛山二模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：椭圆的定义



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，
∴a2-b2=3，①
∵椭圆过点H(
3
，
1
2
)．
∴
3
a2
+
1
4b2
=1，②
①②解得a2=4，b2=1，
所以椭圆E的方程为
x2
4
+y2=1．…（4分）
解法二：椭圆的两个焦点分别为F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，
由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=
7
2
+
1
2
=4，所以a=2，b2=1，
所以椭圆E的方程为
x2
4
+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x0，y0），
直线PA1：y-1=
y0-1
x0
x，令y=0，得xN=
-x0
y0-1
；
直线PA2：y+1=
y0+1
x0
x，令y=0，得xM=
x0
y0+1
； 
设圆G的圆心为(
1
2
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)，h)，
则r2=[
1
2
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)-
x0
y0+1
]2+h2=
1
4
(
x0
y0+1
+
x0
y0-1
)2+h2，
OG2=
1
4
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)2+h2OT2=OG2-r2=
1
4
(
x0
y0+1
+
x0
y0-1
)2+h2-
1
4
(
x0
y0+1
-
x0
y0-1
)2-h2=
x02
1-y02

而
x02
4
+y02=1，所以
x20
=4(1-
y20
)，所以OT2=
4(1-
y20
)
1-y02
=4，
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A1（0，1），A2（0，-1），设P（x0，y0），
直线PA1：y-1=
y0-1
x0
x，令y=0，得xN=
-x0
y0-1
；
直线PA2：y+1=
y0+1
x0
x，令y=0，得xM=
x0
y0+1
；
则|OM|?|ON|=|
-x0
y0-1
?
x0
y0+1
|=|
x02
y02-1
|，而
x02
4
+y02=1，所以
x20
=4(1-
y20
)，
所以|OM|?|ON|=|
x02
y02-1
|=4，由切割线定理得OT2=|OM|?|ON|=4
所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-3，0)..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。


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