已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F1，F2分别是椭圆C左、右焦点，M椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l椭圆交于A、B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为82．（1）求椭圆C的方-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F1，F2分别是椭圆C左、右焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F₁，F₂分别是椭圆C左、右焦点，M椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q的坐标为（1，0）存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．若存在，求出点P坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
因为M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

2

所以，4a=8

2

，

1

2

×b×2c=4
∴

bc=4

b2+c2=8

，
∴b=c=2，a=2

2

，
∴所求的椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切．
设圆Q的半径为r，点P（x₀，y₀），
因为圆Q与直线PF₁，PF₂都相切，所以PQ为∠F₁PF₂的角平分线，
∴

|PF1|

|PF2|

=

|QF1|

|QF2|

，∴

|PF1|

4

2

=

|QF1|

4

∴|PF1|=

2

|QF1|
∵|QF₁|=3，∴|PF1|=3

2

∴

(x0+2)2+y02=18

x02

8

+

y02

4

=1

解得x0=2，y0=±

2

当P（2，

2

）时，直线PF₁的方程为：x-2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；当P（2，-

2

）时，直线PF₁的方程为：x+2

2

y+2=0，Q到直线PF₁的距离=

|1+2|

3

=1；直线PF₂的方程为x-2=0，该圆与直线PF₂相切；
所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，点P（2，±

2

），圆的方程为：（x-1）²+y²=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C中心在坐标原点O焦点在x上，F1，F2分别是椭圆C左、右焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的定义”。

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