已知函数f（x）=x（x2-a），（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x（x2-a），（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若过点P（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x（x²-a），（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）=x³-ax求导数得到f'（x）=3x²-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当a＞0时，f′(x)=3(x-

a

3

)(x+

a

3

)．
则f(x)在[

a

3

，+∞)和(-∞，-

a

3

]上单调递增；
在[-

a

3

，+

a

3

]上单调递减．…（5分）
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x₀，y₀），
则y-y₀=（3x₀²-a）（x-x₀），即y=（3x₀²-a）x-2x₀³
则y=（3x₀²-a）x-2x₀³过P（1，-2），
∴-2=3x₀²-a-2x₀³，即2x₀³-3x₀²+a-2=0．
由题意知关于x₀的方程
2x₀³-3x₀²+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x³-3x²+a-2，
则g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
于是g（x）_极小=g（1）=a-3，
g（x）_极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴

g(1)=a-3=0

g(0)=a-2＞0

或

g(1)＜0

g(0)=0.

∴a=3或a=2
∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x（x2-a），（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若过点P（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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