已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．（1）求证：数列{bn}为等比数列；（2）记Tn为数列{1log2bn+1?log2bn+2}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列{

1

log2bn+1?log2bn+2

}的前n项和，是否存在实数a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴

log

(an+1+1)2

=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴

bn+1

bn

=2，∴数列{b_n}为等比数列．
（2）∵数列{b_n}为等比数列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴

1

log2bn+1?log2bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1，∵不等式Tn＜log0.5(a2-

1

2

a)对?n∈N₊恒成立，
只要 log0.5(a2-

1

2

a)≥1=log_0.5^0.5 即可，即

a2-

a

2

＞0

a2-

a

2

≤

1

2

，即

a＜0 或 a＞

1

2

-

1

2

≤ a ≤1

，
解得-

1

2

≤a＜0，或

1

2

＜a≤1，故a的取值范围为[-

1

2

，0）∪（

1

2

，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}满足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：