已知数列{an}中，a1=-1，且（n+1）an，（n+2）an+1，n成等差数列．（Ⅰ）设bn=（n+1）an-n+2，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式；（Ⅲ）（仅理科做）若an-bn≤kn对一切n∈N*恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=-1，且（n+1）an，（n+2）an+1，n成等差数列．（Ⅰ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且（n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做）若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：江苏二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分）

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1

2

(n+1)an+

n

2

-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1

2

(n+1)an-

n

2

+1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，
∴数列{b_n}是等比数列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=-(

1

2

)n-1，即(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．
∴an=-

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，
∴a_n-b_n≤kn，即k ≥

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．
设cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，
则c_n 随着n的增大而减小，…8分
∵dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，
∴n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，…10分
则n≥5时，e_n随着n的增大而减小． …
∵c₁=

1

2

，c₂=

1

6

，c₃=

1

16

，c₄=

1

40

，c₅=

1

96

，
d₁=-

1

2

，d₂=0，d₃=

1

12

，d₄=

1

10

，d₅=

1

10

，
∴e₁=0，e₂=

1

6

，e₃=

7

48

，e₄=

1

8

，e₅=

53

480

．
则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=

1

6

最大．
∴实数k的取值范围k≥

1

6

． …13分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=-1，且（n+1）an，（n+2）an+1，n成等差数列．（Ⅰ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：