已知数列{an}满足a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)（n∈N*）．（1）设bn=1+24an，求证：{bn-3}成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式an．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)（n∈N*）．（1）设bn=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)（n∈N^*）．
（1）设bn=

1+24an

，求证：{b_n-3}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由bn=

1+24an

，得an=

b

2n

-1

24

，
代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)，
得

b

2n+1

-1

24

=

1

16

(1+4×

b

2n

-1

24

+bn)?4

b

2n+1

=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3．…（5分）
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，又b1=

1+24×1

=5，则b₁-3=2≠0．…（7分）
∴{b_n-3}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（8分）
（2）由（1）得bn-3=

1

2n-2

，∴bn=

1

2n-2

+3，…（10分）
则an=

b

2n

-1

24

=

2

3

×

1

4n

+

1

2n+2

+

1

3

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)（n∈N*）．（1）设bn=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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