已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=λan-λ-n2，若b2n-1＞b2n恒成立，求实数λ的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4（n∈N*）．（Ⅰ）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：资阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），
两式相减得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）
∴a_n+1=-

1

2

a_n+

3

2

，则a_n+1-1=-

1

2

（a_n-1），（4分）
由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=

1

2

，则

a2-1

a1-1

=-

1

2

，
故数列{a_n-1}是以1为首项，-

1

2

为公比的等比数列．
则a_n-1=（a₁-1）（-

1

2

）^n-1，
∴a_n=（-

1

2

）^n-1+1，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-

1

2

）^n-1+1]-λ-n²=λ（-

1

2

）^n-1-n²．
由题意得b_2n-1＞b_2n，则有λ（-

1

2

）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-

1

2

）^2n-1-（2n）²，
即λ（-

1

2

）^2n-2[1-（-

1

2

）]＞（2n-1）²-（2n）²，
∴λ＞-

(4n-1)?4n

6

，（10分）
而-

(4n-1)?4n

6

对于n∈N^*时单调递减，则-

(4n-1)?4n

6

的最大值为-

(4-1)4

6

=-2，
故λ＞-2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4（n∈N*）．（Ⅰ）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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