已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（1）求证：{1Sn}是等差数列；（2）求an表达式；（3）若bn=2（1-n）an（n≥2），求证：b22+b32+…+bn2＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足
a_n+2S_n?S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求证：{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求a_n表达式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求证：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2为首项，公差为2的等差数列．

（2）由（1）

1

Sn

=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=

1

2n

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2n(n-1)

n=1时，a₁=S₁=

1

2

，
∴a_n=

1

2

(n=1)

-

1

2n(n-1)

(n≥2)

；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=

1

n

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn?Sn-1=0（n≥2），a1=12．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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