已知a1=1，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…（1）证明：数列{lg（an+2）}是等比数列；（2）设数列{an+2}的前n项积为Tn，求Tn及数列{an}的通项公式；（3-数学试题及答案

1、试题题目：已知a1=1，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，其中n=1，2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知a₁=1，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+4x+2的图象上，其中n=1，2，3，4，…
（1）证明：数列{lg（a_n+2）}是等比数列；
（2）设数列{a_n+2}的前n项积为T_n，求T_n及数列{a_n}的通项公式；
（3）已知b_n是

1

an+1

与

1

an+3

的等差中项，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：

3

8

≤Sn＜

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：由已知a_n+1=a_n²+4a_n+2，
∴a_n+1+2=（a_n+2）²
∵a₁=1?a_n+2＞1，两边取对数，得lg（a_n+1+2）=2lg（a_n+2）
∴{lg（a_n+2）}是等比数列，公比为2，首项为lg（a₁+2）=lg3
（2）由（1）得lg(an+2)=2n-1lg3=lg32n-1，
∴an=32n-1-2，
∵lgT_n=lg[（a₁+2）（a₂+2）（a_n+2）]=lg（a₁+2）+lg（a₂+2）+…+lg（a_n+2）=

(2n-1)lg3

2-1

=lg32n-1
∴Tn=32n-1
（3）
∵bn=

1

2

(

1

an+1

+

1

an+3

)=

1

2

(

1

32n-1-1

+

1

32n-1+1

)=

32n-1

=

1

32n-1-1

-

1

32n-1

=

1

an+1

-

1

an+1+1

=

1

a1+1

-

1

an+1+1

=

1

2

-

1

32n-1

显然b_n＞0，
∴Sn≥S1=

3

8

，
又Sn=

1

2

-

1

32n-1

＜

1

2

，
∴

3

8

≤Sn＜

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a1=1，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+4x+2的图象上，其中n=1，2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：