设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数的个数．（1）求an并且证明{an}是等差数列；（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2Sk；（3）对于（2）中的命题，-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的通项是关于x的不等式x²-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数的个数．
（1）求a_n并且证明{a_n}是等差数列；
（2）设m、k、p∈N*，m+p=2k，求证：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）不等式x²-x＜（2n-1）x即x（x-2n）＜0
解得：0＜x＜2n，其中整数有2n-1个
∴a_n=2n-1，
由通项公式可得：a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）由（1）知Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，
∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

1

m2

+

1

p2

-

2

k2

=

k2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

≥

2mp?mp-2m2p2

m2p2k2

=0，
即

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(a1+an)

2

，
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+

m(m-1)

2

d+pa1+

p(p-1)

2

d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+

m2+p2-(m+p)

2

d-[2ka1+(k2-k)d]，
把m+p=2k代入上式化简得S_m+S_p-2S_k=

m2+p2-2×(

m+p

2

)2

2

?d=

(m-p)2d

4

≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k．
又Sm?Sp=

mp(a1+am)(a1+ap)

4

=

mp[

a

21

+a1(am+ap)+am?ap]

4

≤

(

m+p

2

)2[

a

21

+2a1?ak+(

am+ap

2

)2]

4

=

k2(

a

21

+2a1ak+

a

2k

)

4

=

k2(a1+ak)2

4

=(

Sk

2

)2，
∴

1

Sm

+

1

Sp

=

Sm+Sp

SmSp

≥

2Sk

(

Sk

2

)2

=

2

Sk

．
故原不等式得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的通项是关于x的不等式x2-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：