设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，（t∈R，n∈N*）．（1）试确定实数t的值，使得数列{bn}为等差数列；（2）当数列{bn}为等差数列时，对每个正整数k，在-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的通项公式为an=2n，数列{b_n}满足2n2-(t+bn)n+

3

2

bn=0，（t∈R，n∈N^*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（2）当数列{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k和a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当n=1时，2-(t+b1)+

3

2

b1=0，得b₁=2t-4，
同理：n=2时，得b₂=16-4t；n=3时，得b₃=12-2t，则由b₁+b₃=2b₂，得t=3．…（2分）
而当t=3时，2n2-(3+bn)n+

3

2

bn=0，得b_n=2n
由b_n+1-b_n=2，知此时数列{b_n}为等差数列．…（4分）
（2）由题意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…
则当m=1时，T₁=2≠2c₂=4，不合题意，舍去；
当m=2时，T₂=c₁+c₂=4=2c₃，所以m=2成立； …（6分）
当m≥3时，若c_m+1=2，则T_m≠2c_m+1，不合题意，舍去；
从而c_m+1必是数列{a_n}中的某一项a_k+1，则Tm=a1+

2+…+2

b1个

+a2+

2+…+2

b2个

+a3+

2+…+2

b3个

+a4+…+ak+

2+…+2

bk个

=（2+2²+2³+…+2^k）+2（b₁+b₂+b₃+…+b_k）=2(2k-1)+2×

(2+2k)k

2

=2k+1+2k2+2k-2，…（9分）
又2cm+1=2ak+1=2×2k+1，
所以2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，
所以2^k+1=k²+k=k（k+1）
因为2^k+1（k∈N^*）为奇数，而k²+k=k（k+1）为偶数，所以上式无解．
即当m≥3时，T_m≠2c_m+1
综上所述，满足题意的正整数仅有m=2．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的通项公式为an=2n，数列{bn}满足2n2-(t+bn)n+32bn=0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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