设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N*)．（1）证明数列{an}是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意m、k、p∈N*，m+p=2k，都有1Sm+1Sp≥2Sk；（3）对-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，已知4Sn=

a

2n

+2an+1(n∈N*)．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

试题来源：闵行区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵4Sn=

a

2n

+2an+1，∴当n≥2时，4Sn-1=

a

2n-1

+2an-1+1．
两式相减得4an=

a

2n

-

a

2n-1

+2an-2an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又4S1=

a

21

+2a1+1，∴a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知Sn=

(1+2n-1)n

2

=n2，
∴Sm=m2，Sk=k2，Sp=p2，
于是

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

1

m2

+

1

p2

-

2

k2

=

k2(p2+m2)-2m2p2

m2p2k2

=

(

m+p

2

)2(p2+m2)-2m2p2

m2p2k2

≥

mp×2pm-2m2p2

m2p2k2

=0，
∴

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(a1+an)

2

，
于是Sm+Sp-2Sk=ma1+

m(m-1)

2

d+pa1+

p(p-1)

2

d-[2ka1+k(k-1)d]
=(m+p)a1+

m2+p2-m-p

2

d-(2ka1+k2d-kd)，
将m+p=2k代入得，Sm+Sp-2Sk=

(m-p)2

4

d≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k，
又SmSp=

mp(a1+am)(a1+ap)

4

=

mp[

a

21

+(am+ap)a1+amap]

4

≤

(

m+p

2

)2[

a

21

+2a1ak+(

am+ap

2

)2]

4

=

k2(a12+2a1ak+

a

2k

)

4

=

k2(a1+ak)2

4

=

S

2k

，
∴

1

Sm

+

1

Sp

=

Sm+Sp

SmSp

≥

2Sk

S

2k

=

2

Sk

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，已知4Sn=a2n+2an+1(n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：