已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，（1）求证：数列{an-12n}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项的和Sn；（3）令1bn-1=an-12n，Tn为数列{bn}的前n项的积，求证：Tn＞2n+1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，（1）求证：数列{an-12n}为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²-1，a₁=3，
（1）求证：数列{

an-1

2n

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an-1

2n

，Tn为数列{b_n}的前n项的积，求证：T_n＞

2n+1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）an+1=2an+2n+2-1?an+1-1=2(an-1)+2n+2?

an+1-1

2n+1

=

an-1

2n

+2，
∴{

an-1

2n

}是公差为2，首项为1的等差数列
（2）由（1）知：

an-1

2n

=2n-1，
∴an=(2n-1)?2n+1Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n+n
令An=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2An=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：An=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)?2n+1=6+（2n-3）?2ⁿ⁺¹
∴Sn=n+6+(2n-3)?2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an-1

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

，
∵T_n=b₁b₂b₃?…?b_n
当n=1时，T1=b1=2＞

2×1+1

不等式成立
假设n=k（k∈N*）不等式b1?…?bk＞

2k+1

成立，
则当n=k+1时，有b1?…?bk?bk+1＞

2k+1

?

2k+2

2k+1

=

2k+2

2k+1

∵

2k+2

2k+1

=

4k2+8k+4

2k+1

＞

4k2+8k+3

2k+1

=

(2k+1)(2k+3)

2k+1

=

2k+3

∴b1?…?bk+1＞

2(k+1)+1

即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，（1）求证：数列{an-12n}为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：