已知正项数列{an}的前n和为Sn，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn=an2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，-数学试题及答案

1、试题题目：已知正项数列{an}的前n和为Sn，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且

Sn

是

1

4

与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=

an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{

Tn+λ

an+2

}为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵Sn=

1

4

(an+1)2，∴a1=S1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1（a_n＞0）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}为等差数列．（4'）
（2）由（1）知，{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴a_n=2n-1
∴bn=

2n-1

2n

，①
Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+2(

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

∴Tn=3-

2n-3

2n

（9'）
（3）∵

Tn+λ

an+2

=(3-

2n+3

2n

+λ)

1

2n+3

=

3+λ

2n+3

-

1

2n

易知，当λ=-3时，数列{

Tn+λ

an+2

}为等比数列．（13'）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知正项数列{an}的前n和为Sn，且Sn是14与（an+1）2的等比中项．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：