已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n?3n，n∈N*，a1=2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）设bn=a2n+1-a2n-1，n∈N*，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn=an+12n2，求数列{cn}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n?3n，n∈N*..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ?3n，n∈N^*，a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设bn=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）设c_n=a_n+

1

2

n²，求数列{c_n}的前n项和S_n．

试题来源：盐城模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）因为数列{a_n}满足[2+（-1）ⁿ⁺¹]a_n+[2+（-1）ⁿ]a_n+1=1+（-1）ⁿ?3n，（*），且a₁=2，
所以将n=1代入（*）式，得3a₁+a₂=-2，故a₂=-8
将n=2代入（*）式，得a₂+3a₃=7，故a₃=5
（Ⅱ）证明：在（*）式中，用2n代换n，得[2+（-1）²ⁿ⁺¹]a_2n+[2+（-1）²ⁿ]a_2n+1=1+（-1）²ⁿ?6n，
即a_2n+3a_2n+1=1+6n ①，
再在（*）式中，用2n-1代换n，得[2+（-1）²ⁿ]a_2n-1+[2+（-1）^2n-1]a_2n=1+（-1）^2n-1?（6n-3），
即3a_2n-1+a_2n=4-6n②，
①-②，得3（a_2n+1-a_2n-1）=12n-3，即b_n=4n-1
∴b_n+1-b_n=4，
∴{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）因为a₁=2，由（Ⅱ）知，a_2k-1=a₁+（a₃-a₁）+…+（a_2k-1-a_2k-3）=（k-1）（2k-1）+2 ③，
将③代入②，得3（k-1）（2k-1）+6+a_2k=4-6k，即a_2k=-6k²+3k-5
所以c_2k-1=a_2k-1+

1

2

（2k-1）²=-4k²-5k+

7

2

，c_2k=a_2k+

1

2

（2k）²=-4k²+3k-5，
则c_2k-1+c_2k=-2k-

3

2

，
所以S_2k=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2k-1+c_2k）=-k²-

5

2

k
所以S_2k-1=S_2k-c_2k=（-k²-

5

2

k）-（-4k²+3k-5）=3k²-

11k

2

+5
故S_n=

3n2-5n+12

4

，n为奇数

-

n2+5n

4

，n为偶数

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足[2+（-1）n+1]an+[2+（-1）n]an+1=1+（-1）n?3n，n∈N*..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：