设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1-数学试题及答案

1、试题题目：设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为

x2

9

-y²=1，n=3．点P₁（3，0）及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

符号意义

本试卷所用符号

等同于《实验教材》符号

向量坐标

a

={x，y}

a

=（x，y）

正切

tg

tan

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）a₁=|OP₁|²=9，由S₃=

3

2

（a₁+a₃）=162，得a₃=|OP₃|³=99．
由

x2

9

-y2=1

x2+ y2=99

得

x2=90

y2=9

∴点P₃的坐标可以为（3

10

，3）．
（2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OP_k|²=（k-1）d，
及

y

2k

=2pxk

x

2k

+

y

2k

=(k-1)d

即（x_k+p）²=p²+（k-1）d，
∴（x₁+p）²，（x₂+p）²，…（x_n+p）²是首项为p²，公差为d的等差数列．
（3）原点O到二次曲线
C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a．
∵a₁=|OP₁|²=a²，∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+（n-1）d≥b²，
∴

b2-a2

n-1

≤d＜0．∵n≥3，

n(n-1)

2

＞0
∴S_n=na²+

n(n-1)

2

d在[

b2-a2

n-1

，0）上递增，
故S_n的最小值为na²+

n(n-1)

2

?

b2-a2

n-1

=

n(a2+b2)

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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