已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn=1a2n，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S=13，求数列{an}的首项-数学试题及答案

1、试题题目：已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列．又b_n=

1

a2n

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=

1

3

，求数列{a_n}的首项a₁和公差d．
（注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）

试题来源：黑龙江试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：设{a_n}中首项为a₁，公差为d．
∵lga₁，lga₂，lga₄成等差数列∴2lga₂=lga₁+lga₄∴a₂²=a₁?a₄．
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）∴d=0或d=a₁．
当d=0时，a_n=a₁，b_n=

1

a2n

=

1

a1

，∴

bn+1

bn

=1，∴{b_n}为等比数列；
当d=a₁时，a_n=na₁，b_n=

1

a2n

=

1

2na1

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，∴{b_n}为等比数列．
综上可知{b_n}为等比数列．
（2）∵无穷等比数列{b_n}各项的和S=

1

3

．
∴|q|＜1，由（1）知，q=

1

2

，d=a₁．b_n=

1

a2n

=

1

2na1

∴S=

b1

1-q

=

1

a2

1-q

=

1

2a1

1-

1

2

=

1

a1

=

1

3

，∴a₁=3．
∴

a1=3

d=3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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