已知Sn为数列{an}的前n项和，a=（Sn，1），b=(-1，2an+2n+1)，a⊥b．（Ⅰ）求证：{an2n}为等差数列；（Ⅱ）若bn=n-2013n+1an，问是否存在n0，对于任意k（k∈N*），不等式bk≤bn0成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知Sn为数列{an}的前n项和，a=（Sn，1），b=(-1，2an+2n+1)，a⊥b．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，

a

⊥

b

．
（Ⅰ）求证：{

an

2n

}为等差数列；
（Ⅱ）若bn=

n-2013

n+1

an，问是否存在n₀，对于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵

a

⊥

b

，

a

=（S_n，1），

b

=(-1，2an+2n+1)，
∴-Sn+2an+2n+1=0，
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减，整理可得an+1=2an-2n+1，∴

an+1

2n+1

=

an

2n

-1，
又n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a₁=-4，∴

a1

2

=-2
∴{

an

2n

}是以-2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

2n

=-2-(n-1)=-(n+1)，
∴bn=(2013-n)2n，
令b_n+1≥b_n，
∴2ⁿ⁺¹≥2ⁿ，
∴n≤2011
∴b_n的最大值为b2011=b2012=22012，
∴存在n₀=2011或2012，对于任意k（k∈N^*），不等式bk≤bn0成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知Sn为数列{an}的前n项和，a=（Sn，1），b=(-1，2an+2n+1)，a⊥b．..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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