如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列（1）若a2，b2，c2成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；（2）设Sn是调和数列{1n}的前n项和，证明对于任意-数学试题及答案

1、试题题目：如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数列
（1）若a²，b²，c²成等差数列，证明b+c，c+a，a+b成调和数列；
（2）设S_n是调和数列{

1

n

}的前n项和，证明对于任意给定的实数N，总可以找到一个正整数m，使得当n＞m时，S_n＞N．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）欲证b+c，c+a，a+b成调和数列，
只须证

2

c+a

=

1

b+c

+

1

a+b

只须证2（b+c）（a+b）=（c+a）（a+b）+（c+a）（b+c）
化简后，只须证2b²=a²+c²
因为a²，b²，c²成等差数列，所以2b²=a²+c²成立
所以b+c，c+a，a+b成调和数列
（2）Sn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

∴S2k=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＞1+

1

2

+(

1

4

+

1

4

)+(

1

8

+

1

8

+

1

8

+

1

8

)

+…+(

1

2k

+

1

2k

+ …+

1

2k

)

= 1+

1

2

+

1

2

+…+

1

2

=1+

k

2

对于任一给定的N，欲使S_n＞N，
只须1+

k

2

＞N，
即k＞2（N-1），
取m=[2^2（N-1）]+1（其中[2^2（N-1）]表示2^2（N-1）的整数部分），
则当n＞m时，S_n＞N．
（本题解法和答案不唯一）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如果一个数列的各项的倒数成等差数列，我们把这个数列叫做调和数..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：