设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb，(k＞0)且向量m与n夹角θ的余弦值为f(k)，（1）求f（k）的表达式．（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．（3）在（1）的条件下解-数学试题及答案

1、试题题目：设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb，(k＞..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

设

a

，

b

是两个互相垂直的单位向量，已知向量

m

=k

a

+

b

，

n

=

a

+k

b

，(k＞0)且向量

m

与

n

夹角θ的余弦值为f(k)，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜

-3ak2+(a2+4)k

k4+6k2+1

，(a∈R)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

a

⊥

b

∴

a

?

b

=0，
∵|

a

|=|

b

|=1
∴

m

?

n

=(k

a

+

b

)(

a

+k

b

)=k

a

2+(1+k2 )

a

?

b

+k

b

2=2k
∵|

m

|2=(k

a

+

b

)2=1+k2，同理可得|

n

|2=

1+k2

∴f（k）=cosθ=

m

?

n

|

m

| |

n

|

=

2k

1+k2

（k＞0）…（4分）
（2）因为1+2k²≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=

2k

1+k2

=

1

2

∴k=2±

3

（8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（

2k

1+k2

）=

2×

2k

1+k2

1+(

2k

1+k2

)2

=

4k(1+k2)

1+6k2+k4

＜

-3ak2+(4+a2)k

1+6k2+k4

?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?4k(k+a)(k-

a

4

)＜0，
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜

a

4

当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜

a

4

}；
当a=0时，解集为?
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a，b是两个互相垂直的单位向量，已知向量m=ka+b，n=a+kb，(k＞..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：