已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点M满足：|OM+OA|+|OM-OA|=6．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）是否存在直线l过D（0，2）与轨迹C交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过原点，若存在，-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点M满足：|OM+OA|+|OM-OA|=6..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知向量

OA

=（2

2

，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设 B（-2

2

，0）…（1分）
则|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=|

OM

+

OB

|+|

OM

-

OA

|=|

MB

|+|

MA

|=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2

2

，2a=6?a=3?b=1 …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为

x2

9

+y²=1 …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由

y=kx+2

x2

9

+y2=1

得x²+9 （kx+2）²=9，
即（1+9k²） x²+36kx+27=0 …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜-

3

或k＞

3

（*）…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-

36k

1+9k2

，x₁x₂=

27

1+9k2

…（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即

27(1+k2)

1+9k2

-

72k2

1+9k2

+4=0
解得k=±

31

3

满足（*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：

31

x-3y+6=0或

31

x+3y-6=0 …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点M满足：|OM+OA|+|OM-OA|=6..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：