已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且AP=2PB．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，112)到动直线l的最短距离，并求此时-数学试题及答案

1、试题题目：已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且

AP

=2

PB

．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，

1

12

)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x，y）因为y_A′=2x|_x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a²=2a（x-a）．
令x=0，则y=-a²，B点坐标为（0，-a²），
又

AP

=2

PB

，

AP

=（x-a，y-a²），

PB

=（-x，-a²-y）
∴

x-a=-2x

y-a2=2(-a2-y)

化简得，

x=

a

3

y=-

a2

3

消去a，得y=-3x²∴点P的轨迹方程为y=-3x²（2）设C到l的距离为d，则d=

1

12

+a2

4a2+1

=

1

4

[

4a2+1

-

2

3

4a2+1

]
设

4a2+1

=t(t≥1)，则d=

1

4

(t-

2

3

?

1

t

)，d为t的增函数，
∴dmin=

1

4

(1-

2

3

)=

1

12

故C到l的最短距离为

1

12

，此时l的方程为y=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设直..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：