设a=（1-cosα，sinα），b=（1+cosβ，sinβ），c=（1，0），α、β∈（0，π），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π3．（1）求cos（α+β）的值；（2）设OA=a，OB=b，OD=d，且a+b+d=3c求证：-数学试题及答案

1、试题题目：设a=（1-cosα，sinα），b=（1+cosβ，sinβ），c=（1，0），α、β∈（0，π），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

设

a

=（1-cosα，sinα），

b

=（1+cosβ，sinβ），

c

=（1，0），α、β∈（0，π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=

π

3

．
（1）求cos（α+β）的值；（2）设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OD

=

d

，且

a

+

b

+

d

=3

c

求证：△ABD是正三角形．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵α、β∈（0，π），
∴

α

2

、

β

2

∈（0，

π

2

），
故cosθ₁=

a?c

|a||c|

=

1-cosα

2-2cosα

=

1-cosα

2

=sin

α

2

=cos(

π

2

-

α

2

)，
cosθ₂=

b?c

|b||c|

=

1+cosβ

2+2cosβ

=

1+cosβ

2

=cos

β

2

，
∴θ1=

π

2

-

α

2

，θ2=

β

2

．
又θ₁-θ₂=

π

3

，即

π

2

-

α

2

-

β

2

=

π

3

，可得α+β=

π

3

，故cos（α+β）=

1

2

．

（2）∵

AB

=

OB

-

OA

=

b

-

a

=（cosβ+cosα，sinβ-sinα），
∴|

AB

|=

(cosβ+cosα)2+(sinβ-sinα)2

=

2+2cos(β+α)

=

3

，
由

a

+

b

+

d

=3

c

，可得

d

=3

c

-

a

-

b

=（1+cosα-cosβ，-sinα-sinβ），
∵

AD

=

OD

-

OA

=

d

-

a

=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），
∴|

AD

|=

(2cosα-cosβ)2+(2sinα+sinβ)2

=

5-4cos(β-α)

=

3

，
同理可得|

BD

|=

3

，故|

AB

|=|

AD

|=|

BD

|，故△ABD是正三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a=（1-cosα，sinα），b=（1+cosβ，sinβ），c=（1，0），α、β∈（0，π），..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：