设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）（1）证明：无论P点在什么位置，-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）
（1）证明：无论P点在什么位置，总有|

OP

|2=|

OQ

?

OR

|(O为坐标原点)；
（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

试题来源：杭州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=

b

a

(x-a)，
解得

OR

=(

-ab

ak-b

，

-kab

ak-b

)，同理可得

OQ

=(

ab

ak+b

，

kab

ak+b

)．
∴|

OQ

?

OR

|=|

-ab

ak-b

ab

ak+b

+

-kab

ak-b

kab

ak+b

|=|

a2b2(1+k2)

|a2k2-b2|

．
设

OP

=(m，n)，则由双曲线方程与OP方程联立解得：

m2=

a2b2

b2-a2k2

，n2=

k2a2b2

b2-a2k2

，

∴

|

OP

|2=m2+n2=

a2b2

b2-a2k2

+

k2a2b2

b2-a2k2

=

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

，

∵点P在双曲线上，∴b²-a²k²＞0，无论点P在什么位置，总有 |

OP

|2=|

OQ

?

OR

|．
（2）由条件得：

a2b2(1+k2)

b2-a2k2

=4ab，即 k2=

4b2-ab

ab+4a2

＞0，
∴4b＞a，∴e=

c

a

=

a2+b2

a

＞

a2+(

a

4

)2

a

=

17

4

，即 e＞

17

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：