过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段BC上，满足BF=λ2FC，且λ1+λ2=1，-数学试题及答案

1、试题题目：过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

过抛物线y²=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足

AE

=λ₁

EC

；点F在线段BC上，满足

BF

=λ₂

FC

，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设

DP

=λ

PC

，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）过点A的切线方程为y=x+1． …（1分）
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以

CD

=

1

2

(

CA

+

CB

)．（1）…（3分）
由

DP

=λ

PC

?

DP

+

PC

=（1+λ）

PC

?

CD

=(1+λ)

CP

．（2）
同理由

AE

=λ₁

EC

，得

CA

=（1+λ₁）

CE

，（3）

BF

=λ₂

FC

，得

CB

=（1+λ₂）

CF

．（4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得

CP

=

1

2(1+λ)

[(1+λ1)

CE

+(1+λ2)

CF

]．
因为E、P、F三点共线，所以

1+λ1

2(1+λ)

+

1+λ2

2(1+λ)

=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=

1

2

．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．
所以，x=

1-1+x0

3

，y=

2+0+y0

3

．
解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，（3y-2）²=12x．
由于x₀≠1，故x≠

1

3

．所求轨迹方程为（3y-2）²=12x （x≠

1

3

）． …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：