已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．（Ⅰ）若α-β=π6且λ=1，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ）若不等式|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)（λ≠0），

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）若α-β=

π

6

且λ=1，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若不等式|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当λ=1时，

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（-sinβ，cosβ）
∴|

OA

|=1，|

OB

|=1
设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，得

OA

?

OB

=|

OA

||

OB

|cosθ=cosθ
又∵

OA

?

OB

=cosα（-sinβ）+（sinα）cosβ=sin（α-β）=sin

π

6

=

1

2

∴cosθ=

1

2

∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

3

（Ⅱ）|

AB

|²=|

OB

-

OA

|²=|

OA

|²-2

OA

?

OB

+|

OB

|²=λ²-2λsin（α-β）+1
不等式|

AB

|≥2|

OB

|可化为：λ²-2λsin（α-β）+1≥4，
即λ²-2λsin（α-β）-3≥0对任意实数α、β都成立
∵-1≤sin（α-β）≤1
∴

λ2-2λ-3≥0

λ2+2λ-3≥0

解得：λ≤-3或λ≥3
∴实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量OA=(λcosα，λsinα)（λ≠0），OB=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：