已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA=λOB+μOC．数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且an=λan-1+μbn-1+1bn=μan-1+λbn-1+1（n≥2）．（Ⅰ）求λ+μ；（Ⅱ）令cn=an+bn，求数列{cn}的通项公式-数学试题及答案

1、试题题目：已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA=λOB+μOC．数列{an}，{bn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-29 07:30:00

试题原文

已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且

OA

=λ

OB

+μ

OC

．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且

an=λan-1+μbn-1+1

bn=μan-1+λbn-1+1

（n≥2）．
（Ⅰ）求λ+μ；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（III）当λ-μ=

1

2

时，求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：中山区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量共线的充要条件及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）A，B，C三点共线，设

AB

=m

BC

，
则

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，（2分）
化简得：

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，所以λ=m+1，μ=-m，
所以λ+μ=1．（4分）
（II）由题设得
a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）
即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，
公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1（18分）
（III）由题设得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）
令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)．
所以{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，
通项公式为dn=

1

2n-1

．（12分）
由

an+bn=2n+1

an-bn=

1

2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA=λOB+μOC．数列{an}，{bn..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量共线的充要条件及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量共线的充要条件及坐标表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：