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1、试题题目：如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-29 07:30:00

试题原文

如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若
AE
=m
AB
，
AF
=n
AC
，m，n∈（0，1）．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证m=n；
（2）若m+n=1，求|
MN
|的最小值．
魔方格

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：向量共线的充要条件及坐标表示



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由A，M，N三点共线，得
AM
∥
AN
，
设
AM
=λ
AN
(λ∈R)，
即
1
2
(
AE
+
AF
)=
1
2
λ(
AB
+
AC
)，
所以m
AB
+n
AC
=λ(
AB
+
AC
)，
所以m=n．
（2）因为
MN
=
AN
-
AM
=
1
2
(
AB
+
AC
)-
1
2
(
AE
+
AF
)=
1
2
(1-m)
AB
+
1
2
(1-n)
AC
，
又m+n=1，
所以
MN
=
1
2
(1-m)
AB
+
1
2
m
AC
，
所以|
MN
|2=
1
4
(1-m)2
AB
2+
1
4
m2
AC
2+
1
2
(1-m)m
AB
?
AC

=
1
4
(1-m)2+
1
4
m2+
1
4
(1-m)m=
1
4
(m-
1
2
)2+
3
16

故当m=
1
2
时，|
MN
|min=
3
4
．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量共线的充要条件及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量共线的充要条件及坐标表示”。


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