已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，短轴长为2．（1）求椭圆方程；（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，2)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，短轴长为2．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-29 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，

2

)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：许昌县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量共线的充要条件及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得

2b=2

c

a

=1

a2=b2+c2

?

a=

2

b=1

c=1

故椭圆方程是

x2

2

+y2=1（4分）
（2）由已知条件，直线l：y=kx+

2

，代入椭圆方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-

2

或k＞

2

．（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-

4

2

k

1+2k2

． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

． ③
而A(

2

，0)，B（0，1），

AB

=(-

2

，1)，
所以

OP

+

OQ

与

AB

共线等价于x₁+x₂=-

2

(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=

2

，（10分）
又k＜-

2

或k＞

2

，
故没有符合题意的常数k．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，短轴长为2．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量共线的充要条件及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量共线的充要条件及坐标表示”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：