数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时，求实数λ及a3；（Ⅱ）当λ=5时，设bn=an2n，求数列{bn}的通项公式（III）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列？-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）当λ=5时，设bn=

an

2n

，求数列{b_n}的通项公式
（III）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题8分）
（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，∴λ=

3

2

，…（1分）
故a3=-

3

2

a2+2 ，所以a3=

11

2

．…（2分）
（Ⅱ）当λ=5时，a_n+1=2a_n+2ⁿ，两边同除以2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1

=

2an

2n

+

1

2

…（3分）
所以，{

an

2n

}是一个以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列，所以：bn=

an

2n

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

所以{b_n}的通项公式为bn=

n+1

2

． …（5分）
（III）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4，a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列．…（8分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=2，an+1=（λ-3）an+2n，（n=1，2，3…）．（Ⅰ）当a2=-1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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