已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若数列{bn}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：n2-13＜a1a2+a2-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}滿足4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)，证明：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅲ）证明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

试题来源：福建试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ．
即a_n=2ⁿ-1∈N^*）．
（II）证明：∵4b1-14b2-1…4bn-1=(an+1)bn(n∈N*)
∴4(b1+b2+…+bn)-n=2nbn．
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1．②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0．
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
∴{b_n}是等差数列．
（III）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k-

1

2

)

＜

1

2

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

．
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3.2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

.

1

2k

，k=1，2，，n，
∴

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

++

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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