已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn=4an-4023且cn=b2n+1+b2n2bn+1bn(n∈N*)，求证：c1+c2+…+cn＜n+1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足an+1=

2an

an+2

（n∈N^*），a2011=

1

2011

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

4

an

-4023且cn=

b

2n+1

+

b

2n

2bn+1bn

(n∈N*)，求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

试题来源：江西模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，得

1

an+1

=

1

2

+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

(n∈N*)，
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

2

为公差的等差数列．

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

2

=

(n-1)a1+2

2a1

，
∴an=

2a1

(n-1)a1+2

…（4分）
又因为a2011=

2a1

2010a1+2

=

1

2011

解得a1=

1

1006

∴an=

2×

1

1006

(n-1)×

1

1006

+2

=

2

n+2011

…（6分）
（2）证明：∵an=

2

n+2011

，
∴bn=4×

n+2011

2

-4023=2n-1-------（7分）
∴cn=

b

2n+1

+

b

2n

2bn+1bn

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴c1+c2+…cn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)+…+(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n=1-

1

2n+1

＜1
故c₁+c₂+…+c_n＜n+1…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足an+1=2anan+2（n∈N*），a2011=12011．（1）求{an}的通..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：