对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为数列{an}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an），则称{△kan}为数列{an}-数学试题及答案

1、试题题目：对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

对于数列{a_n}，若定义一种新运算：△a_n=a_n+1-a_n（n∈N⁺），则称{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列；类似地，对正整数k，定义：△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n），则称{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列．
（1）若数列{a_n}的通项公式为a_n=5n²+3n（n∈N⁺），则{△a_n}，{△²a_n}是什么数列？
（2）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ（n∈N⁺），设数列{a_n}的前n项和为S_n，求{a_n}的通项公式及

lim

n→∞

Sn+n-2

n?3n

的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵△a_n=a_n+1-a_n，a_n=5n²+3n
∴△a_n=5（n+1）²+3（n+1）-（5n²+3n）=10n+8
∴{△a_n}是以18 为首项，10为公差的等差数列
∵△²a_n=△a_n+1-△a_n=a_n+2-a_n+1-（a_n+1-a_n）=20n+26
∴{△²a_n}是以46为首项，20为公差的等差数列
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

∴数列{{

an

2n

}}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

an

2n

=

1

2

+(n-1)×

1

2

，
∴a_n=n?2^n-1．
设Sn=1+2×21+…+n×2n-1①
则2Sn=2+2×22+…+n×2n②
①-②：-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n
∴-Sn=2n-1 -n×2n
∴Sn=-2n+1 +n×2n
∴

lim

n→∞

Sn+n-2

n?3n

=

lim

n→∞

-2n+1 +n×2n+n-2

n?3n

=

lim

n→∞

-2n+n×2n+n-1

n?3n

=0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于数列{an}，若定义一种新运算：△an=an+1-an（n∈N+），则称{△an}为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：