数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95（1）求a1，a2的值（2）若存在一个实数λ使得{an+λ3n}为等差数列求λ的值（3）求数列{an}前n项的和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95（1）求a1，a2的值（2）若存..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95
（1）求a₁，a₂的值
（2）若存在一个实数λ使得{

an+λ

3n

}为等差数列求λ的值
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题设条件知a₂=3a₁+3¹-1，a₃=3a₂+3³-1=95，解得a₁=7，a₂=23
（2）若存在一个实数λ使得{

an+λ

3n

}为等差数列，则有

a1+λ

31

+

a3+λ

33

=2×

a2+λ

32

，将a₁=7，a₂=23，a₃=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{

an-5

3n

}为等差数列其首项为

2

3

，公差为

4

3

的等差数列，故

an-5

3n

=

2

3

+

4

3

×(n-1)=

4

3

n-

2

3

，故a_n=4n×3^n-1-2×3^n-1+5
令A_n为数列{4n×3^n-1}的前n项和，则S_n=A_n-2×（3⁰+3¹+…+3^n-1）+5n=A_n+1-3ⁿ+5n
由于A_n=4×（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1）
3A_n=4×（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）
故-2A_n=4×（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×（

1

2

×(3n-1)-n×3ⁿ）
A_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）
所以S_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）+1-3ⁿ+5n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n≥2）其中a3=95（1）求a1，a2的值（2）若存..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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