已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）记Sn（x）=xa1+x2a2+…+xnan，求Sn（x）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）（1）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

x

3x+1

，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；
（2）记S_n（x）=

x

a1

+

x2

a2

+…+

xn

an

，求Sn（x）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得：a_n+1=

an

3an+1

，

1

an+1

=

3an+1

an

=3+

1

an

∴

1

an+1

-

1

an

=3
∴{

1

an

}是首项为1，公差d=3的等差数列
（2）由（1）得

1

an

=1+（n-1）3=3n-2
∴S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
当x=1，S_n（1）=1+4+7+…+（3n-2）=

1+3n-2

2

?n=

n(3n-1)

2

当x≠1，0时，S_n（x）=x+4x²+7x³+…+（3n-5）x^n-1+（3n-2）xⁿ
xS_n（x）=x²+4x³+7x⁴+…+（3n-5）xⁿ+（3n-2）xⁿ⁺¹
（1-x）S_n（x）=x+（3x²+3x³+…+3xⁿ）-（3n-2）xⁿ⁺¹
=x+

3x2(1-xn-1)

1-x

-(3n-2)xn+1
∴Sn(x)=

x-(3n-2)xn+1

1-x

+

3x2(1-xn-1)

(1-x)2

=

x(1-x)-(3n-2)xn+1(1-x)+3x2(1-xn-1)

(1-x)2

=

(3n-2)xn+2-(3n-2)xn+1+x-x2+3x2-3xn+1

(1-x)2

=

(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x

(1-x)2

当x=0时，S_n（0）=0也适合．
综上所述，x=1，Sn(1)=

n(3n-1)

2

x≠1，S_n（x）=

(3n-2)xn+2-(3n+1)xn+1+2x2+x

(1-x)2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)(n∈N*）（1）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：