已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（1）求出：a1，a2，a3的值（2）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（3）设bn=n3an，求数列{bn}的-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

1

2

（3n+S_n）对一切正整数n成立
（1）求出：a₁，a₂，a₃的值
（2）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

n

3

a_n，求数列{b_n}的前n项和B_n；数列{a_n}中是否存在构成等差数列的四项？若存在求出一组；否则说明理由．

试题来源：南开区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由a_n=

1

2

（3n+S_n）可得S_n=2a_n-3n，故a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+3
∵a₁=

1

2

（3+S₁），∴a₁=3，∴a₂=9，a₃=21；
（2）证明：由待定系数法得a_n+1+3=2（a_n+3）
又a₁+3=6≠0
∴数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，
∴a_n=3（2ⁿ-1）．
（3）由（2）可得b_n=n2ⁿ-n，
∴B_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ-（1+2+3+…+n） ①
∴2B_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹-2（1+2+3+…+n） ②
①-②得，-B_n=2+（2²+2³+…+2ⁿ）+

n(n+1)

2

化简可得B_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

假设数列{a_n}存在构成等差数列的四项依次为：a_m、a_n、a_p、a_q（m＜n＜p＜q）
则3（2^m-1）+3（2^q-1）=3（2ⁿ-1）+3（2^p-1）∴2^m+2^q=2ⁿ+2^p．
上式两边同除以2^m，则1+2^q-m=2^n-m+2^p-m
∵m、n、p、q∈N*，且m＜n＜p＜q，
∴上式左边是奇数，右边是偶数，相矛盾．
∴数列{a_n}不存在构成等差数列的四项．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=12（3n+Sn）对一切正整数n成立（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：