已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45，a1=a4=14．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设由bn=Snn+c（c≠0）构成的新数列为{bn}，求证：当且仅当c=-12时，数列{-数学试题及答案

1、试题题目：已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂?a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设由b_n=

Sn

n+c

（c≠0）构成的新数列为{b_n}，求证：当且仅当c=-

1

2

时，数列{b_n}是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列{b_n}，设c_n=

8

(an+7)?bn

（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，现有数列{f（n）}，f（n）=T_n?（a_n+3-

8

bn

）?0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n₀∈N^*，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出n₀的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：广东模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2?a3=45

a1+a4=14

?

a2?a3=45

a2+a3=14

?

a2=5

a3=9

?d=4?an=4n-3（3分）
（3分）
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2b₂=b₁+b₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化简得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令 c=-

1

2

，即得b_n=2n，显然数列{b_n}为等差数列，
∴当且仅当 c=-

1

2

时，数列{b_n}为等差数列．（9分）
（3）c_n=

8

(an+7)?bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

f（n）=Tn?（an+3-

8

bn

）?0.9ⁿ=

n

n+1

?(4n-

4

n

) ?0.9n=4（n-1）?0.9ⁿ（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4?0.9ⁿ[0.9n-（n-1）]=4?0.9ⁿ[1-0.1n]n∈N⁺
∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
f（n）_max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n₀=10或11，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足a2?a3=45..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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