对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N*，定义{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．（1）若数列{an}的通项公-数学试题及答案

1、试题题目：对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

对于数列{a_n}，定义{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N^*，定义{△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．
（1）若数列{a_n}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△a_n}、二阶差分数列{△²a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）△a_n=a_n+1-a_n=[（n+1）²-6（n+1）]-（n²-6n）=2n-5…3分
△²a_n=△a_n+1-△a_n=[2（n+1）-5]-（2n-5）=2…2分
（2）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，
则△a_n+1-△a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ
即△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-a_n=a_n+2ⁿ，即a_n+1=2a_n+2ⁿ…2分
∴

an+1

2n+1

=

an

2n

+

1

2

，
则{

an

2n

}为公差是

1

2

的等差数列…2分
又

a1

2

=

1

2

，
∴

an

2n

=

1

2

+

1

2

（n-1）=

1

2

n（n∈N^*），
∴a_n=n?2^n-1…2分
∴S_n=1?2⁰+2?2¹+3?2²+4?2³+…+（n-1）?2^n-2+n?2^n-1…①
2S_n=1?2¹+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ…②
①-②得：
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n?2ⁿ=

1-2n

1-2

-n?2ⁿ=2ⁿ-1-n?2ⁿ，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1（n∈N^*）…2分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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