数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求a1；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=1an2，求证：对-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=

1

an2

，求证：对任意正整n，总有T_n＜2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
∴2Sn=an+

a

2n

，
令n=1，得2a1=2S1=a1+

a

21

，解得a₁=1．
（2）当n≥2时，由2Sn=an+

a

2n

，2Sn-1=an-1+

a

2n-1

，
得2an=an+

a

2n

-an-1-

a

2n-1

，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（3）由（2）可得bn=

1

n2

．
当n≥2时，bn＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴Tn＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
当n=1时，T₁=b_n=1＜2．
∴对任意正整n，总有T_n＜2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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