数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1a2n，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞nn+1．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

a

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn＞

n

n+1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知：对于n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1，∴a_n=n．（n∈N^*）
（2）由（1）可知bn=

1

n2

∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn＞(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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