设数列{an}的前n项和Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1（n∈N*）．（1）求证：数列{1Sn-1}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1（n∈N*）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

设数列{an}的前n项和S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0…（1）；
代入n=1，得S₁=a₁=

1

2

…（2）；
当n＞1时，
由a_n=S_n-S_n-1，代入式（1）得
S_n=

1

2-Sn-1

S_n-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1
故数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（2）再由（1）知数列{

1

Sn-1

}是为以-2为首项，-1为公差数列
∴

1

Sn-1

=-1-n
∴S_n=

n

n+1

∴a_n=S_n-S_n-1=

1

n(n+1)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1（n∈N*）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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